Почему у подсолнуха 34 и 55 спиралей

Один угол, одно правило — и откуда-то берутся числа Фибоначчи.

Посмотрите на корзинку подсолнуха: семечки выстроены в спирали, закрученные в обе стороны. Если терпеливо посчитать, в одну сторону обычно выходит 34 спирали, в другую — 55. У крупных цветков бывает 55 и 89, у мелких — 21 и 34. Это соседние числа Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89… — каждое равно сумме двух предыдущих.

Растение не умеет считать. Зато оно умеет одну простую вещь: новый зачаток появляется в центре и поворачивается относительно предыдущего на один и тот же угол. Старые семечки при этом отодвигаются наружу. Вот и вся модель — попробуйте сами.

Быстро:
Семечко номер n стоит под углом n·θ на расстоянии √n от центра (модель Фогеля, 1979): так каждое семечко занимает примерно одинаковую площадь. Подсветка соединяет семечки с номерами n и n+F — это и есть видимые спирали.

При угле 137,508° семечки ложатся плотно и равномерно, без дыр. Сдвиньте угол хотя бы на полградуса — и картина разваливается на лучи с пустотами между ними. Почему именно этот угол?

Рациональный угол — это лучи

Удобно мерить поворот не в градусах, а в долях полного оборота. Пусть поворот равен p/q оборота — рациональная дробь. Тогда через q шагов мы сделаем ровно p полных оборотов и вернёмся в то же направление. Все семечки лягут на q прямых лучей, а между лучами будет пусто — место потрачено зря.

Доля оборота:

Обратите внимание: чем больше знаменатель, тем больше лучей и тем дольше картинка «притворяется» равномерной в центре. Но снаружи лучи всё равно расходятся. Значит, нам нужен угол, который не равен никакой дроби — иррациональный. Только этого мало.

Иррациональные бывают «почти рациональными»

Возьмите π − 3 ≈ 0,14159 оборота. Число иррациональное, но очень близко к 1/7 ≈ 0,14286. Растение с таким углом почти повторит рисунок с 7 лучами — лучи будут лишь слегка закручены. Чем лучше число приближается простыми дробями, тем заметнее лучи. Нам нужно число, которое приближается дробями хуже всех.

Как измерить, насколько число «близко к дроби»? Для этого есть цепные дроби. Отделяем целую часть, остаток переворачиваем, снова отделяем целую часть — и так далее:

x = a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + 1/(a₃ + …)))

Если где-то попался большой коэффициент aₖ, значит, оборвав дробь перед ним, мы получим очень хорошее приближение. У π это видно сразу: [3; 7, 15, 1, 292, …] — отсюда знаменитые 22/7 и 355/113. Попробуйте сами:

Подходящие дроби — то, что получается, если оборвать цепную дробь. Ошибка показана относительно введённого x (числа с плавающей точкой точны примерно до 15 знаков, поэтому длинные хвосты недостоверны).

Самые плохие приближения получаются, когда все коэффициенты минимальны — равны единице:

φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + …))) = (1 + √5)/2 ≈ 1,6180339887

Это золотое сечение, «самое иррациональное число»: его никакая дробь не приближает хорошо. Точнее, по теореме Гурвица любое иррациональное число имеет бесконечно много приближений p/q с ошибкой меньше 1/(√5·q²), и для φ константу √5 улучшить нельзя — для него это худший случай.

Откуда берутся Фибоначчи

Если обрывать цепную дробь φ, получаются подходящие дроби 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34… — отношения соседних чисел Фибоначчи. Они сходятся к φ, по очереди проскакивая то выше, то ниже:

Отношение F(n+1)/F(n). Горизонтальная линия — φ. Ошибка каждый раз уменьшается примерно в φ² ≈ 2,618 раза.

Золотой угол — это доля оборота 1/φ² = 2 − φ ≈ 0,381966, то есть 360° × 0,381966 ≈ 137,508° (или, что то же самое, 222,49° в другую сторону). Ближайшие к ней дроби — 13/34, 21/55, 34/89: снова Фибоначчи.

Теперь спирали объясняются сами. Семечки с номерами n и n + 34 отличаются по углу на 34 × 0,381966 ≈ 12,987 оборота — почти ровно 13 полных оборотов, недобор всего около 0,013 оборота (≈ 4,7°). Значит, семечко n + 34 оказывается почти прямо за семечком n, чуть сбоку. Цепочка n, n+34, n+68, … медленно закручивается — это спираль, и таких спиралей ровно 34 (по одной на каждый остаток от деления на 34). То же с 55: 55 × 0,381966 ≈ 21,008 — перебор, поэтому эти спирали закручены в другую сторону.

Какие спирали глаз видит лучше всего, зависит от расстояния до центра: ближе к центру соседями оказываются семечки с разницей 13 и 21, дальше — 34 и 55, ещё дальше — 55 и 89. Включите подсветку на большой модели и переключайте F: на 34 и 55 спирали ровные, а, например, на 30 вышли бы рваными — потому в списке только числа Фибоначчи.

А теперь сломайте

Поставьте в первой модели 137,5° вместо 137,508°. В центре всё хорошо, но на краю появляются лучи: 137,5° = 55/144 оборота — рациональный угол, и дырявость рано или поздно проявится. Растению хватает того, что ошибка ничтожна на масштабе в пару тысяч семечек. А 139° сразу даёт заметные пустоты.

Итог: чтобы плотно упаковать семечки поворотом на постоянный угол, угол должен быть как можно дальше от всех дробей. Самое «далёкое от дробей» число — φ. Его лучшие приближения — отношения чисел Фибоначчи. Поэтому и спиралей 34 и 55. Реальные растения, конечно, не решают задачу оптимизации: угол получается из механики роста (новый зачаток возникает там, где больше всего места), и это правило само подтягивает угол к золотому.

Для любопытных: Х. Фогель, «A better way to construct the sunflower head» (1979); S. Douady, Y. Couder, «Phyllotaxis as a physical self-organized growth process» (1992).